同济大学第六版高等数学上册课后答案全集(4)

y1 y2=

xxx x =<0,1 x11 x2(1 x1)(1 x2)

所以函数y=x在区间( ∞,1)内是单调增加的.

(2)对于任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,有

y1 y2=(x1+lnx1) (x2+lnx2)=(x1 x2)+ln

x<0,x2

所以函数y=x+lnx在区间(0,+∞)内是单调增加的.

10.设f(x)为定义在( l,l)内的奇函数,若f(x)在(0,l)内单调增加,证明f(x)在( l,0)内也单调增加.

证明对于 x1,x2∈( l,0)且x1<x2,有 x1, x2∈(0,l)且 x1> x2.

因为f(x)在(0,l)内单调增加且为奇函数,所以

f( x2)<f( x1), f(x2)< f(x1),f(x2)>f(x1),

这就证明了对于 x1,x2∈( l,0),有f(x1)<f(x2),所以f(x)在( l,0)内也单调增加.

11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间( l,l)上的,证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;

(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.

证明(1)设F(x)=f(x)+g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F( x)=f( x)+g( x)=f(x)+g(x)=F(x),

所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.

如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F( x)=f( x)+g( x)= f(x) g(x)= F(x),

所以F(x)为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.

(2)设F(x)=f(x) g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F( x)=f( x) g( x)=f(x) g(x)=F(x),

所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.

如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F( x)=f( x) g( x)=[ f(x)][ g(x)]=f(x) g(x)=F(x),

所以F(x)为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.

如果f(x)是偶函数,而g(x)是奇函数,则

F( x)=f( x) g( x)=f(x)[ g(x)]= f(x) g(x)= F(x),

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