同济大学第六版高等数学上册课后答案全集(17)

x→∞x→+∞x→ ∞

ε>0, X>0,使当|x|>X时,有恒|f(x)|>M.

解

f(x)→A ε>0, δ>0,使

x→x0当0<|x x0|<δ时,

有恒|f(x) A|<ε. ε>0, δ>0,使

x→x0+当0<x x0<δ时,

有恒|f(x) A|<ε. ε>0, δ>0,使

x→x0 当0<x0 x<δ时,

有恒|f(x) A|<ε. ε>0, X>0,使

x→∞当|x|>X时,有恒

|f(x) A|<ε.

ε>0, X>0,使

x→+∞当x>X时,有恒

|f(x) A|<ε.

ε>0, X>0,使

x→ ∞当x< X时,有恒

|f(x) A|<ε.f(x)→∞ M>0, δ>0,使当0<|x x0|<δ时,有恒|f(x)|>M. M>0, δ>0,使当0<x x0<δ时,有恒|f(x)|>M. M>0, δ>0,使当0<x0 x<δ时,有恒|f(x)|>M. ε>0, X>0,使当|x|>X时,有恒|f(x)|>M.

ε>0, X>0,使当x>X时,有恒|f(x)|>M.

ε>0, X>0,使当x< X时,有恒|f(x)|>M.f(x)→+∞ M>0, δ>0,使当0<|x x0|<δ时,有恒f(x)>M. M>0, δ>0,使当0<x x0<δ时,有恒f(x)>M. M>0, δ>0,使当0<x0 x<δ时,有恒f(x)>M. ε>0, X>0,使当|x|>X时,有恒f(x)>M.

ε>0, X>0,使当x>X时,有恒f(x)>M.

ε>0, X>0,使当x< X时,有恒f(x)>M.f(x)→ ∞ M>0, δ>0,使当0<|x x0|<δ时,有恒f(x)< M. M>0, δ>0,使当0<x x0<δ时,有恒f(x)< M. M>0, δ>0,使当0<x0 x<δ时,有恒f(x)< M. ε>0, X>0,使当|x|>X时,有恒f(x)< M.

ε>0, X>0,使当x>X时,有恒f(x)< M.

ε>0, X>0,使当x< X时,有恒f(x)< M.

6.函数y=xcosx在( ∞,+∞)内是否有界？这个函数是否为当x→+∞时的无穷大？为什么？

解函数y=xcosx在( ∞,+∞)内无界.

这是因为 M>0,在( ∞,+∞)内总能找到这样的x,使得|y(x)|>M.例如

y(2kπ)=2kπcos2kπ=2kπ(k=0,1,2, ),

当k充分大时,就有|y(2kπ)|>M.

当x→+∞时,函数y=xcosx不是无穷大.

这是因为 M>0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有|y(x)|>M.例如

y(2kπ+π=(2kπ+π)cos(2kπ+π=0(k=0,1,2, ),

222

对任何大的N,当k充分大时,总有x=2kπ+π>N,但|y(x)|=0<M.

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