2021高考全国甲卷文科数学试题及答案

2021 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 

1、答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应答案的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合 M={1,3,5,7,9}. N={x|2x >7}，则 M∩N= A.{7,9}

B.{5,7,9}

C.{3,5,7,9}

D.{1,3,5,7,9}

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是

A.该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%

B.该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间

3．已知(1-i)2z =3+2i，则 z =

3

A. -1- i

2

B. -1+ 3 i

2

3

C.- +i

2

D.- 3 -i

2

4.下列函数中是增函数的为A.f(x)= -x

 2 x

B.f(x)=   3 

 

C.f(x)=x2

D.f(x)=

3√𝑥

x2  y2

5.点(3,0)到双曲线

16

A.9

5

B.8

5

C.6

5

D.4

5

=1 的一条渐近线的距离为

9

6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量。通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据 V 满足𝐿 = 5 + lg 𝑉。已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数

记录法的数据约为(10√10 ≈ 1.259)

A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6

7.在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E, F, G，该正方体截去三棱锥 A-EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是

A.

B.

C.

D.

8.在∆ABC 中，已知𝐵 = 120°, 𝐴𝐶 = √19, 𝐴𝐵 = 2, 则𝐵𝐶 =

A. 1 B.  √2 C.  √5 D. 3

9.记𝑆𝑛为等比数列{𝑎𝑛}的前 n 项和。若𝑆2 = 4, 𝑆4 = 6，则𝑆6 =

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

10.将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为

A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8

11、若α∈(0,π),tan 2α= cos α ,则tan α=

2 2- sin α

A.√15

15

B. √5 5

C. √5

3

D. √15

3

12.设 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且 f(1+x)=f(-x).若 f(- 1)= 1,则 f(5)=

A- 5

3

B.- 1

3

C.1 3

D.5 3

3 3 3

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13.若向量 a,b 满足|a|=3, |a-b|=5,a·b=1,则|b|= .

14.已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为 30π，则该圆锥的侧面积为 .

15.已知函数 f(x)=2cos(ωx+ϕ)的部分图像如图所示，则 f(π)= .

2

16.已知𝐹 , 𝐹 为椭圆 C: 𝑥2 + 𝑦2 = 1的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点

1 2 16 4

对称的两点，且|PQ|= |𝐹1𝐹2|，则四边形 P𝐹1Q𝐹2的面积为 .

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题:共 60 分。

17.(12 分)

甲、乙两台机床生产同种产品产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品产品的质量情况统计如下表:

一级品 二级品 合计

甲机床 150 50 200

乙机床 120 80 200

合计 270 130 400

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

(2)能否有 99%的把握为机品质量与乙机床的产品质量有差异?

附:K2 = n(ad−bc)2 ,

(a  +b)(c +d)(a+c)(b+d)

P(K2 ≥ k) 0.050 0.010 0.001

𝑘 3.841 6.635 10.828

18.(12 分)

 

记𝑆𝑛,为数列{𝑎𝑛}的前 n 项和，已知𝑎𝑛,>0，𝑎3 = 3𝑎1,，且数列{√𝑆𝑛}是等差数列，证明:{𝑎𝑛}是等差数列.

 

19.(12 分)

已知直三棱柱 ABC-𝐴1𝐵1𝐶1中,侧面,A𝐴1𝐵1B 为正方形,AB=BC=2,E,F 分别为

AC 和 C𝐶1的中点，BF⊥𝐴1𝐵1，

(1)求三棱锥 F-EBC 的体积:

(2)已知 D 为棱𝐴1𝐵1上的点，证明: BF⊥DE.

20.（12 分）

设函数 f(x)=𝑎2 𝑥2 + 𝑎𝑥 − 3𝑙𝑛𝑥 + 1，其中 a>0。

（1）讨论 f(x)的单调性；

（2）若 y=f(x)的图像与 x 轴没有公共点，求 a 的取值范围。

21.（12 分）

抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，直线 l:x=1 交 C 于 P，Q 两点， 且 OP⊥OQ，已知点 M(2,0)，且⊙M 与 l 相切。

（1）求 C，⊙M 的方程；

（2）设 A1，A2，A3 是C 上的三个点，直线 A1A2，A2A3 均与⊙M 相切，判断直线

A2A3 与⊙M 的位置关系，并说明理由。

（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）

在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2√2cos𝜃。

（1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点 A 的直角坐标为(1,0)，M 为 C 上的动点，点 P 满足̅𝐴̅̅𝑃̅=√2̅𝐴̅̅𝑀̅̅，写出

P 的轨迹 C1 的参数方程，并判断 C 与 C1 是否有公共点。

23. [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f(x)=|x-2|，g(x)=|2x+3|-|2x-1|。

（1）画出 y=f(x)和 y=g(x)的图像；

（2）若 f(x+a)≥g(x)，求 a 的取值范围。

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