同济大学第六版高等数学上册课后答案全集(11)

证明因为limun=a,所以 ε>0, N∈N,当n>N时,有|un a|<ε,从而

n→∞

||un| |a||≤|un a|<ε.

这就证明了lim|un|=|a|.

n→∞

数列{|xn|}有极限,但数列{xn}未必有极限.例如lim|( 1)n|=1,但lim( 1)n不

n→∞

n→∞

存在.

5.设数列{xn}有界,又limyn=0,证明:limxnyn=0.

n→∞

n→∞

证明因为数列{xn}有界,所以存在M,使 n∈Z,有|xn|≤M.

又limyn=0,所以 ε>0, N∈N,当n>N时,有|yn|<ε.从而当n>N时,有n→∞|xnyn 0|=|xnyn|≤M|yn|<M ε=ε,

所以limxnyn=0.

n→∞

6.对于数列{xn},若x2k 1→a(k→∞),x2k→a(k→∞),证明:xn→a(n→∞).

证明因为x2k 1→a(k→∞),x2k→a(k→∞),所以 ε>0, K1,当2k 1>2K1 1时,有|x2k 1 a|<ε; K2,当2k>2K2时,有|x2k a|<ε.

取N=max{2K1 1,2K2},只要n>N,就有|xn a|<ε.因此xn→a(n→∞).

习题1 3

1.根据函数极限的定义证明:

(1)lim(3x 1)=8;

x→3

分析因为

|(3x 1) 8|=|3x 9|=3|x 3|,

所以要使|(3x 1) 8|<ε,只须|x 3|<1ε.

3

证明因为 ε>0, δ=1ε,当0<|x 3|<δ时,有

3

|(3x 1) 8|<ε,

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