同济大学第六版高等数学上册课后答案全集(10)

则 n>N,有|xn 0|<ε.

当ε=0.001时,N=1=1000.

3.根据数列极限的定义证明:(1)lim12=0;n→∞n

分析要使|12 0|=12ε,只须n2>1,即n>1.

εnn证明因为 ε>0, N=[1,当n>N时,有|1 0|<ε,所以lim1=0.

n→∞nn(2)lim3n+1=3;n→∞2n+12

分析要使|3n+1 3|=1<1<ε,只须1<ε,即n>1.

2n+122(2n+1)4n证明因为 ε>0, N=[1,当n>N时,有|3n+1 3|<ε,所以lim3n+1=3.

n→∞2n+12(3)lim

n→∞

+a1;

22+a22+a2 n22aa分析要使| 1|==<<ε,只须n>.

22εnnn(n+a+n)n222

证明因为 ε>0, N=a,当 n>N时,有|+a 1|<ε,所以

εn→∞

lim

2+a2=1.

(4)lim0.999 9=1.n→∞14243

n个

1<ε,只须1<ε,即n>1+lg1.

1010 1

证明因为 ε>0, N=[1+lg1,当 n>N时,有|0.99 9 1|<ε,所以

lim0.999 9=1.n→∞14243

分析要使|0.99 9 1|=

n个

4.limun=a,证明lim|un|=|a|.并举例说明:如果数列{|xn|}有极限,但数列

n→∞

n→∞

{xn}未必有极限.

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