同济大学第六版高等数学上册课后答案全集(16)

2所以当x→3时y=为无穷小.x+3

(2)当x≠0时|y|=|x||sin1|≤|x 0|.因为 ε>0, δ=ε,当0<|x 0|<δ时,有

|y|=|x||sin1≤|x 0|<δ=ε,

x

所以当x→0时y=xsin1为无穷小.

3.根据定义证明:函数y=1+2x为当x→0时的无穷大.问x应满足什么条件,

x

能使|y|>104？

证明分析|y|=1+2x=2+1≥1 2,要使|y|>M,只须1 2>M,即

xx|x||x||x|<

1.

M+2

证明因为 M>0, δ=

1,使当0<|x 0|<δ时,有1+2x>M,所以当x→0时,函数y=1+2x是无穷大.

1.当0<|x 0|<1时,|y|>104.取M=104,则δ=10+2104+2

4.求下列极限并说明理由:

2x+1;(1)limx→∞2(2)lim.x→01 x

解(1)因为2x+1=2+1,而当x→∞时1是无穷小,所以lim2x+1=2.

x→∞22

(2)因为=1+x(x≠1),而当x→0时x为无穷小,所以lim=1.

x→01 x1 x

5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:

x→x0x→x0+x→x0

f(x)→A ε>0, δ>0,使当0<|x x0|<δ时,有恒|f(x) A|<ε.

f(x)→∞f(x)→+∞f(x)→ ∞

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