同济大学第六版高等数学上册课后答案全集(14)

4.当x→∞时,y=x2 1→1,问X等于多少,使当|x|>X时,|y 1|<0.01?

x+3

2x解要使 1 1=4<0.01,只要|x|>4 3=,故X=.

0.01x+3x+3

2

5.证明函数f(x)=|x|当x→0时极限为零.

证明因为

|f(x) 0|=||x| 0|=|x|=|x 0|,

所以要使|f(x) 0|<ε,只须|x|<ε.

因为对 ε>0, δ=ε,使当0<|x 0|<δ,时有

|f(x) 0|=||x| 0|<ε,所以lim|x|=0.

x→0

|x|

6.求f(x)=x, (x)=当x→0时的左﹑右极限,并说明它们在x→0时的极

x限是否存在.

证明因为

lim f(x)=lim x=lim 1=1,x→0x→0x→0

lim+f(x)=lim+x=lim+1=1,x→0x→0xx→0

x→0

limf(x)=lim+f(x),

x→0

所以极限limf(x)存在.

x→0

因为

|x|

=lim x= 1,

x→0x→0xx→0x

|x|

lim+ (x)=lim+=lim+x=1,x→0x→0xx→0xlim (x)=lim

x→0

lim (x)≠lim+ (x),

x→0

所以极限lim (x)不存在.

x→0

7.证明:若x→+∞及x→ ∞时,函数f(x)的极限都存在且都等于A,则

x→∞

limf(x)=A.

证明因为limf(x)=A,limf(x)=A,所以 ε>0,

x→ ∞

x→+∞

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