同济大学第六版高等数学上册课后答案全集(15)

X1>0,使当x< X1时,有|f(x) A|<ε; X2>0,使当x>X2时,有|f(x) A|<ε.

取X=max{X1,X2},则当|x|>X时,有|f(x) A|<ε,即limf(x)=A.

x→∞

8.根据极限的定义证明:函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.

证明先证明必要性.设f(x)→A(x→x0),则 ε>0, δ>0,使当0<|x x0|<δ时,有|f(x) A|<ε.

因此当x0 δ<x<x0和x0<x<x0+δ时都有|f(x) A|<ε.

这说明f(x)当x→x0时左右极限都存在并且都等于A.

再证明充分性.设f(x0 0)=f(x0+0)=A,则 ε>0,

δ1>0,使当x0 δ1<x<x0时,有|f(x) A<ε; δ2>0,使当x0<x<x0+δ2时,有|f(x) A|<ε.

取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x x0|<δ时,有x0 δ1<x<x0及x0<x<x0+δ2,从而有|f(x) A|<ε,

即f(x)→A(x→x0).

9.试给出x→∞时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.

解x→∞时函数极限的局部有界性的定理:如果f(x)当x→∞时的极限存在,则存在X>0及M>0,使当|x|>X时,|f(x)|<M.

证明设f(x)→A(x→∞),则对于ε=1, X>0,当|x|>X时,有|f(x) A|<ε=1.所以|f(x)|=|f(x) A+A|≤|f(x) A|+|A|<1+|A|.

这就是说存在X>0及M>0,使当|x|>X时,|f(x)|<M,其中M=1+|A|.习题1 4

1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解不一定.

例如,当x→0时,α(x)=2x,β(x)=3x都是无穷小,但limα(x)=2,α(x)不是无

x→0β(x)3β(x)穷小.

2.根据定义证明:

2x(1)y= 9当x→3时为无穷小;x+3

(2)y=xsin1当x→0时为无穷小.

2

证明(1)当x≠3时|y|==|x 3|.因为 ε>0, δ=ε,当0<|x 3|<δ时,有

x+3

2=|x 3|<δ=ε,|y|=

x+3

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