线性代数历年考研试题之计算题与证明题(8)

1, 2, 3 3 1 2【考点】含参数的向量组线性相关性的讨论及求向量由向量组线性表示的具体表示式. 解 方法一:(一般情形) 111 1

A ( TTT

11

1, 2, 3) 123 r

01 . 3t 2

1 00t 5

(1)当t 5时,R( TTT

1, 2, 3) R( 1, 2, 3) 3 1, 2, 3线性无关;

(2)当t 5时,R( TTT1, 2, 3) R(1, 2, 3) 2 3 1, 2, 3线性相关;

111 10 1

(3)当t 5时,( TTT

r

2 1, 2, 3) 123t 01 ,则

13 000

TT 2 T

3 12 3 1 2 2.

1

方法二:(特殊情形) 1, 2, 3线性无关 A 1, 2 ,

12

3t 3t

时, 1, 2, 3线性相关;令 3 x1 1 x2 2 3 1 2 2. 【注意】方法二只有在向量组所含向量的个数等于向量的维数时才适用.

2 16.(1989—Ⅳ,Ⅴ)设A 12

2 1 2

.

2 2 1

（1）试求矩阵A的特征值;

（2）利用（1）的结果,求矩阵E A 1的特征值,其中E是三阶单位矩阵. 【考点】特征值的计算及特征值的性质.

解 (1) A E (1 )2

(5 ),则A的特征值为1,1, 5.

(2)设 为可逆矩阵A的特征值,x为对应的特征向量,则

Ax x A 1x 1x (E A 1)x (1 1)x,

即1 1为E A 1的特征值.所以E A 1的特征值为2,2,45

.

17. (1989—Ⅴ)讨论向量组 1 (1,1,0), 2 (1,3, 1), 3 (5,3,t)的线性相关性. 【考点】含参数的向量组线性相关性的讨论.

解 参考15. (1989—Ⅳ).答案:当t 1时线性无关;当t 1时线性相关. 18.(1990—Ⅰ,Ⅱ)设四阶矩阵

5 0t

;当

5t 5

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