线性代数历年考研试题之计算题与证明题

三、计算题与证明题

1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)问a,b为何值时,线性方程组

x1 x2 x3 x4 0, x 2x 2x 1, 234

x (a 3)x 2x b,34 2 3x1 2x2 x3 ax4 1

有唯一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.

【考点】非齐次线性方程组解的理论的应用.

1

0r

解 方法一: B A b

0 0

1

0

122 1 . 0a 10 b 1

00a 1 0

11

(1)当R(A) 4 a 1时,方程组有惟一解; (2)当a 1时,方程组无解或无穷多解,此时

1 0r

B A b

0 0

111

0

122 1 . 000 b 1

000 0

①当b 1时,R(A) R(B) 2 4,方程组有无穷多解;此时

1 0r

B A b

0 00 1 1 1 122 1 , 000 0

000 0

1 1 1 2 2 1

方程组的通解为x k1 k2 ,k1,k2为任意常数;

1 0 0 0 1 0

②当b 1时,R(A) 2,R(B) 3,方程组无解. 综上可得:

(1)当a 1时,方程组有惟一解;

(2)当a 1,b 1时,方程组有无穷多解; (3)当a 1,b 1时,方程组无解.

2

方法二:方程组的系数行列式A (a 1).

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