线性代数历年考研试题之计算题与证明题(11)

(1)方程组有解 R(A) R(B)

b 3a 0 a 1

;

2 2a 0 b 3

1 0r a 1

(2)当 时,B (A|b)

0 b 3

0

0 1 1 5 2 1226 3 ,方程组的解 0000 0

0000 0

x1 x3 x4 5x5 2

.

x2 2x3 2x4 6x5 3

x3 1 0 0

x x x 5x 1345

方程组的导出组的解 ,令 x4 0 , 1 , 0 ,得方程组的导出组的一个基础解系

x2 2x3 2x4 6x5

x5 0 0 1

1 1 5 2

2 2 6 3 x3 0 x 0

1 1 , 2 0 , 3 0 .令 4 ,得方程组的一个特解 0 .则方程组的通解

x0010 5 0 0 0 1 0 x k1 1 k2 2 k3 3,其中k1,k2,k3为任意常数.

21.(1990—Ⅳ) 已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak 0.试证明矩阵E A可逆,并写出其逆矩阵的

表达式(E为n阶单位阵). 【考点】抽象矩阵求逆.

kkk

证 E E A E A( E )A(E A

k1

,)所以E A可逆,且 A

(E A) 1 E A Ak 1.

22.(1990—Ⅴ)设A为10 10矩阵

0

0 A

010 1010 00

01 00

00 01 00 00

计算行列式A E,其中E为10阶单位矩阵, 为常数.

【考点】行列式的计算. 解 A E

按第一列展开

=

0 10 101.

23.(1990—Ⅴ)设方阵A满足条件ATA E,其中AT是A的转置矩阵, E为单位阵.试证明A的实特征向量

所对应的特征值的绝对值等于1.

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