线性代数历年考研试题之计算题与证明题(14)

111 0 111 0 r

( 1, 2, 3 ) 111 0 000 0 ,

111 0 000 0

R( 1, 2, 3) R( 1, 2, 3, ) 1 3, 可由 1, 2, 3线性表示,且表达式不惟一;

(3)当 3时,R( 1, 2, 3) 2 R( 1, 2, 3, ) 3, 不能由 1, 2, 3线性表示. 【注意】

(1)向量 可由 1, 2, , m线性表示 x1 1 x2 2 xm m 有解

( 1, 2, , m)x 有解 Ax 有解,其中A ( 1, 2, , m) R( 1, 2, , m) R( 1, 2, , m ).

(2)本题实质上等价为

(1 )x1 x2 x3 0

问 取何值时,线性方程组 x1 (1 )x2 x3 有惟一解,无解,有无穷多解.

2x x (1 )x 3 12

27.(1991—Ⅳ)考虑二次型

22

f x12 x2 x3 2 x1x2 2x1x3 4x2x3

问 取何值时,f为正定二次型?

【考点】判别二次型正定的霍尔维茨定理.

1

解 二次型的矩阵A 4

12 1 2 .则 4

1 1 0

1

4 2 0 2 1. f为正定二次型 2 4

A 4(1 )(2 ) 0 3

28.(1991—Ⅳ)试证明n维列向量 1, 2, , n线性无关的充分必要条件是

D

1T 1 1T 2 1T nTTT 2 1 2 2 2 n

TTT n 1 n 2 n n

0,

其中 iT表示列向量 i的转置,i 1,2, ,n.

【考点】线性无关的判别定理,分块矩阵的运算,矩阵的性质.

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