线性代数历年考研试题之计算题与证明题(10)

1 3

1

2 对应于特征值 1,2 0的线性无关的特征向量为 3 2,单位化得p3 .

3 2

2 3 (4)构造正交变换:令正交矩阵P

p1,p2,p3

x1 x 2 x3

1 3 y

1

2 y2 . 3

y 2 3 3

1 3 2

,则所求正交变换为 3 2 3

2

(5)写出二次型的标准形:二次型的标准形为f 9y3.

【注意】利用正交变换化二次型为标准形的步骤: (1)写出二次型的矩阵; (2)求A的特征值;

(3)求A的两两正交且单位化的特征向量; (4)构造正交变换;

(5)写出二次型的标准形.

20.(1990—Ⅳ,Ⅴ) 已知线性方程组

x1 x2 x3 x4 x5 a 3x 2x x x 3x 0 12345

x 2x 2x 6x b345 2 5x1 4x2 3x3 3x4 x5 2

（1）a、b为何值时,方程组有解?

（2）方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系; （3）方程组有解时,求出方程组的全部解. 【考点】含参数的线性方程组解的讨论.

解 参考10.(1988—Ⅳ,Ⅴ),此题只能用方法一(一般情形)(为什么?请读者自己考虑).

1 3

B (A|b)

0 5

111

a 1

0r211 3 0

1226 b 0

433 1 2 0

1

1226 3a . 0000 b 3a

0000 2 2a

1111 a

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