线性代数历年考研试题之计算题与证明题(15)

证 n维列向量 1, 2, , n线性无关 A 1, 2, , n 0.又

1T 1T 1 1T 2 T TT 2 1 2 2T2 AA 1, 2, , n T T T

n2 n n1

2

1T n

T

2 n

, T

n n

则D ATA A,即D 0 A 0.

29.(1991—Ⅴ)设n阶矩阵A和B满足条件A B AB.

1 30

(1)证明A E为可逆矩阵; (2)已知B 210 ,求矩阵A.

002

【考点】证明抽象矩阵可逆及解矩阵方程.

证 (1)由A B AB (A E)B (A E) E (A E)(B E) E,则A E可逆.

1 1 1

(2)由(1)得,A (B E) E

3 0

1210

0 0 . 2

211

30.(1991—Ⅴ)已知向量 (1,k,1)T是矩阵A 121 的逆矩阵A 1的特征向量,试求常数k的值.

112

【考点】特征值与特征向量的概念.

解 设 为对应于 的A 1的特征值,则A 1 A .解方程组得k 1或 2.

【注意】

(1)已知含参数的矩阵A的特征值,求参数时,方法是运用特征值的性质或特征多项式求解;

(2)已知含参数的矩阵A的特征向量,求参数时,方法是运用特征值与特征向量的定义,得线性方程组再解之. 31.(1992—Ⅰ,Ⅱ)设向量组 1, 2, 3线性相关,向量组 2, 3, 4线性无关,问: （1） 1能否由 2, 3线性表出?证明你的结论. （2） 4能否由 1, 2, 3线性表出?证明你的结论. 【考点】向量组线性相关的性质.

解 (1) 1能由 2, 3线性表出.事实上, 2, 3, 4线性无关,则 2, 3线性无关,又 1, 2, 3线性相关,所以 1

能由 2, 3线性表出.

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