线性代数历年考研试题之计算题与证明题(18)

x x T C x y y

T

AO x TTyT xAx yBy 0,

OB y

即C

O

AO

是正定矩阵. B

A EO

OB E

A E B E,即C的特征值由A,B的特征值的全

方法二:用特征值证明.C E

部.而A,B的特征值全大于零,则C的特征值全大于零,即C是正定矩阵.

【注意】讨论抽象矩阵的正定性,一般用上面两种方法.

101

37.(1992—Ⅴ)设矩阵A 020 ,矩阵X满足AX I A2 X,其中I为三阶单位矩阵.试求出矩阵X.

101

【考点】解矩阵方程.

解 由AX I A2 X (A I)X (A I)(A I).又A I 1 0,则

201

X A I 030 .

102

【注意】此题也可由X (A I) 1(A2 I)求解,但计算烦琐.在矩阵的运算时,应尽量应用矩阵的性质先化简. 38.(1992—Ⅴ)设线性方程组

x1 2x2 2x3 0,

2x1 x2 x3 0, 3x x x 0 123

的系数矩阵为A,三阶矩阵B O,且AB O.试求 的值. 参考35.(1992—Ⅳ)的(1).

39.(1992—Ⅴ)已知实矩阵A aij 3 3满足条件:(1)aij Aij(i,j 1,2,3),其中Aij是aij的代数余子

式;(2)a11 0.计算行列式A.

【考点】伴随矩阵及其性质;行列式按行(列)展开定理.

T*T*

解 由aij Aij A A AA AA AE A A A 0或A 1.又

2

3

222

A a11A11 a12A12 a13A13 a11 a12 a13 0 A 1.

40.(1993—Ⅰ,Ⅱ)已知二次型

22

f 2x12 3x2 3x3 2ax2x3(a 0),

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