线性代数历年考研试题之计算题与证明题(13)

1 1 1, 2 1 1, , n 1 1,则A E ( 1 1)( 2 1) ( n 1) 1.

方法二:A为n阶正定矩阵,则存在正交矩阵U,使得U 1AU diag( 1, 2, , n),即

A U U 1.

其中 1, 2, , n为A的特征值,且 1 0, 2 0, , n 0.则

A E U 1 UEU 1 ( E)U 1 E 1

E ( 1 1)( 2 1) ( n 1) 1.

26.(1991—Ⅳ,Ⅴ)设有三维列向量

1 1 1 0 1 1 , 2 1 , 3 1 , ,

1 1 1 2

问 取何值时:

（1） 可由 1, 2, 3线性表示,且表达式惟一; （2） 可由 1, 2, 3线性表示,且表达式不惟一; （3） 不能由 1, 2, 3线性表示.

【考点】含参数的向量可由向量组线性表示的讨论,等价于含有参数的线性方程组解的讨论. 解 方法一:(一般情形)

11 0 11 1 1 2

r

( 1, 2, 3 ) 11 1 0 (1 ) .

12 11 2 00 (3 ) (1 2 )

示;

(2)当 0时,R( 1, 2, 3) R( 1, 2, 3, ) 1 3, 可由 1, 2, 3线性表示,且表达式不惟一; (3)当 3时,R( 1, 2, 3) 2 R( 1, 2, 3, ) 3, 不能由 1, 2, 3线性表示. (1)当R( 1, 2, 3) R( 1, 2, 3, ) 3

0 0

时, 可由 1, 2, 3惟一地线性表

(3 ) 0 3

方法二: 1, 2, 3

11 1

111

2(3 ).

11

(1)当1, 2, 3 0 (2)当 0时,

0

时,R( 1, 2, 3) 3, 可由 1, 2, 3惟一地线性表示;

3

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