线性代数历年考研试题之计算题与证明题(16)

(2) 4不能由 1, 2, 3线性表出.

方法一: R( 1, 2, 3| 4) R( 2, 3, 4) 3 R( 2, 3) R( 1, 2, 3).

方法二:假设 4能由 1, 2, 3线性表出.由(1)知 1能由 2, 3线性表出,则 4能由 2, 3线性表出,与

2, 3, 4线性无关矛盾.

32.(1992—Ⅰ,Ⅱ)设三阶矩阵A的特征值为 1 1, 2 2, 3 3,对应的特征向量依次为

1 1 1 1 , 2 , 3 1 1 1 ,又向量23 . 1 4 9 3

（1）将 用 1, 2, 3线性表出; （2）求An (n为自然数). 【考点】向量的线性表示,特征值与特征向量的概念.

x1

解 (1)解方程组x1 1 x2 2 x3 3 ( 1, 2, 3) x2 得 2 1 2 2 3.

x 3

2 2n 1 3n

(2)An 2An 1 2An 2 An 3 2 1n 1 2 2n 2 3n 3 2 2n 2 3n 1 .

2 2n 3 3n 2

33.(1992—Ⅱ)设A,B为3阶矩阵,I为三阶单位矩阵,满足AB I A2 B,又知

101

A 020 ,

101

求矩阵B.

34.(1992—Ⅳ)设矩阵A与B相似,其中

200 100

,B 020 A 2x2 .

311 00y

(1)求x和y的值; (2)求可逆矩阵P,使P 1AP B.

【考点】已知矩阵的特征值求矩阵含参数;相似矩阵的性质;矩阵的相似对角化. 解 (1)方法一:A与B相似,则A E B E,即

(2 )( 2 (x 1) (x 2)) (1 )(2 )(y ),

解得x 0,y 2.

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