线性代数历年考研试题之计算题与证明题(6)

x1 x2 2x3 3x4 1 x 3x 6x x 3 1234

10.(1988—Ⅳ,Ⅴ) 设线性方程组为 ,问k1与k2各取何值时,方程组无解?有惟一

3x1 x2 k1x3 15x4 3 x1 5x2 10x3 12x4 k2

解?有无穷多解?有无穷多解时,求其一般解.

【考点】含参数的线性方程组解的讨论. 解 方法一:(一般情形)

23 1 1 11

13 r 061 3 B (A|b)

3 1 k115 3 0 1 5 1012 k 2 01

12 1 2 . 0 k1 22 4

003 k2 5

123

(1)当R(A) R(B) 4 k1 2 0 k1 2时,方程组有惟一解;

1

0r

(2)当k1 2时,B

0 0

12

1

12 1 2 ,则 001 2

000 k2 1

3

①当k2 1时,R(A) 3 R(B) 4,方程组无解; ②当k2 1时,R(A) R(B) 3 4,方程组有无穷多解,且

1 0r

B

0 0000 8 120 3 , 001 2

000 0

则通解(一般解)为

x1 8 0 x 3 2

2 k ,k为任意常数. * x3 0 1

0 x4 2

综上:当k1 2时,方程组有惟一解;当k1 2且k2 1时,方程组无解;当k1 2且k2 1时,方程组有无穷

多解,且一般解为*式.

方法二:(特殊情形)方程组的系数行列式A 6(2 k1).

(1)当A 6(2 k1) 0 k1 2时,方程组有惟一解;以下同方法一.

11. (1988—Ⅴ)已知n阶方阵A满足矩阵方程A2 3A 2E 0.证明A可逆,并求出其逆矩阵A 1.

【考点】抽象矩阵是求逆.

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