线性代数历年考研试题之计算题与证明题(7)

A 3A 2E 0 A

E AA

22

12.(1989—Ⅰ,Ⅱ)问 为何值时,线性方程组

x1 x3 ,

4x1 x2 2x3 2, 6x x 4x 2 3

3 12

有解,并求出解的一般形式.

【考点】含参数的非齐次线性方程组解的讨论及非齐次线性方程组的求解.

1

b解 B A 4

6

011

1 2 4

101

01 2 2 3 2 3 000

r

2 . 1

线性方程组有解 R(A) R(B) 1 0 1,其通解为

1 1 1 ,kx k 2 为任意常数. 1 1

13.(1989—Ⅰ,Ⅱ)假设 为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明: (1)

A1

为A 1的特征值; (2)为A的伴随矩阵A*的特征值.

【考点】特征值的概念.

证 (1)设A对应于特征值 的特征向量为x,则

Ax x A(Ax) A( x) Ax x A 1x

*

*

*

1 1 1

0

1

A

x.

(2) Ax x A(Ax) A( x) Ax Ax A*x

0

x.

010 1 1

14.(1989—Ⅳ,Ⅴ)已知X AX B,其中A 111 ,B 20 ,求矩阵X.

10 1 5 3

【考点】解矩阵方程.

) 1解 X (E A

2 0

1B 32 3

0 11 1 1

1 2 0 1 5 3 3 1

2 0 . 1 1

15. (1989—Ⅳ)设 1 (1,1,1), 2 (1,2,3), 3 (1,3,t). （1）问当t为何值时,向量组 1, 2, 3线性无关? （2）问当t为何值时,向量组 1, 2, 3线性相关?

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