线性代数历年考研试题之计算题与证明题(5)

讨论向量组 1, 2, , s的线性相关性.

【考点】向量组的线性相关性的判别方法. 解 方法一:设x1 1 x2 2 xs s 0,即

(x1 xs) 1 (x1 x2) 2 (xs 1 xs) s 0.

x1 xs 0

x1 x2 0

因为 1, 2, , s线性无关,则 ,其系数行列式

xs 1 xs 0

100 01110 00

A 011 00 1 ( 1)s 1.

000 11

(1)当s为奇数,A 2 0,方程组只有零解,则向量组 1, 2, , s线性无关; (2)当s为偶数,A 0,方程组有非零解,则向量组 1, 2, , s线性相关. 方法二:显然

1

1

( 1, 2, , s) ( 1, 2, , s) 0

0 00 01

10 00

11 00 ( 1, 2, , s)Ks s,

00 11

因为 1, 2, , s线性无关,则R( 1, 2, , s) min{R( 1, 2, , s),R(K)} R(K) 关;

关.

【注意】

(1)已知 1, 2, , m可由 1, 2, , m线性表示的具体表达式,且 1, 2, , m线性无关时,用方法二求

s 1

(2)R(K) s K 1 ( 1) 0 s为偶数时,R( 1, 2, , s) s,则向量组 1, 2, , s线性相s 1

(1)R(K) s K 1 ( 1) 0 s为奇数时,R( 1, 2, , s) s,则向量组 1, 2, , s线性无

解一般较简便.

的秩.

(2)若B可逆,则R(AB) R(A).一般地R(AB) min{R(A),R(B)},即乘积矩阵的秩不小于每一个因子

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