线性代数历年考研试题之计算题与证明题(19)

22

通过正交变换化为标准形f y12 2y2,求参数a及所用的正交变换矩阵. 5y3

【考点】二次型理论;用正交变换化二次型为标准形的方法.

200

解 二次型的矩阵A 03a ,则A的特征值为 1 1, 2 2, 3 5.由

0a3

A E (2 )( 6 9 a) (1 )(2 )(5 ) a 2.

或 由A 1 2 3 9 a 5 a 2.

2

a 0

22

a 0

0 0

对应于特征值 1 1的特征向量 1 1 ,单位化,

得p1 1 ; 1 1

1 1

对应于特征值 2 2的特征向量 2 0 ,单位化,得p2 0 ;

0 0

0

对应于特征值 3 5的特征向量 3 1 ,单位化,

得p3 3

3

1

0 .

0 则所求的正交变换矩阵P (p1,p2,p3) 100

0 . 41.(1993—Ⅰ,Ⅱ)设A是n m矩阵,B是m n矩阵,其中n m,I是n阶单位矩阵.若AB I,证明B的列向量组线性无关. 【考点】抽象向量组线性相关性的判别.

证 方法一:用定义证明.设Bm nxn 1 0 (AB)x 0 Ix 0 x 0,则B的列向量组线性无关. 方法二:用矩阵的秩证明.n R(B) R(AB) R(I) n R(B) n,则B的列向量组线性无关. 42.(1993—Ⅱ)已知R3的两个基为

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