线性代数历年考研试题之计算题与证明题(4)

(2 )( 2 x 1) (2 )( 2 (1 y) y),

比较系数,得

x 1 y x 0

.

1 yy 1

方法二:B的特征值为2,y, 1.由A与B相似,则A的特征值为2,y, 1.故

2 y ( 1) 2 0 x x 0

.

y 1 2 y ( 1) A 2

【注意】方法一具有一般性;方法二具有特殊性(为什么?)如果利用方法二得到的不是惟一解,则方法二失

效.但方法二比较简单,建议:做填空题与选择题时用方法二,做解答题时用方法一.

(2)分别求出A的对应于特征值 1 2, 2 1, 3 1的线性无关的特征向量为

1 0 0 ,p 1 ,p 1 p1 0 2 3 . 0 1 1

p2

100

1

p3 01 1,则PAP B.

011

1

,求(3A) 1 2A*. 2

令可逆矩阵P p1

8.(1988—Ⅳ) 设3阶方阵A的伴随矩阵为A*,且A

【考点】矩阵运算的性质. 解 (3A) 1 2A*

1 1211

A 2AA A ,所以

33

2 128116

A ( )3A 1 . 3327A27

(3A) 1 2A*

或

1 11A*4*

(3A) 2A A 2A 2A* A*,则

33A3

1

*

(3A) 1 2A*

4*464163 1

A ( )3A* A . 332727

【注意】求解此类问题,一般是将行列式中的式子先化简,再求行列式.此处用到矩阵的如下性质:

A**1n 11 1 1

;A AA 1;A 1 ;A* A. (kA) A,k 0;A AAk

1

9.(1988—Ⅳ,Ⅴ) 设向量组 1, 2, , s(s 2)线性无关,且

1 1 2, 2 2 3, , s 1 s 1 s, s s 1，

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