线性代数历年考研试题之计算题与证明题(3)

x1 x3 3

由R(A) R(B) 3 4,得方程组有无穷多解.方程组的解 x2 2x3 8,令x3 k得方程组的通解

x 6 3

x1 3 1 x 8 2

2 k ,k为任意常数. x3 0 1 x6 0 4

3 12

5.(1987—Ⅳ,Ⅴ)求矩阵A 0 14 的实特征值及对应的特征向量.

101

【考点】求矩阵的特征值及特征向量.

) (2 4 解 A E (1

0

25)A的实特征值 1.解(A E)x 0得其对应的特征向量x k ,得 , 1

其中k为不为零的任意常数.

6.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知AP PB,其中

100 100

,P 2 10 B 000 ,

00 1 211

求A及A5.

【考点】解矩阵方程及求矩阵的幂.

解 AP PB

A

0 10

1

PBP 200 .

6 1 1

A5 PB5P 1 PBP 1 A.

【注意】若A PBP 1,则Ak PBkP 1;一般地,设 (x) amxm a1x a0,则方阵A的多项式

(A) amAm a1A a0E P (B)P 1.

200 200

7.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知矩阵A 001 与B 0y0 相似:

01x 00 1

(1)求x与y;（2）求一个满足P 1AP B的可逆矩阵P.

【考点】相似矩阵的性质及一般矩阵的对角化方法. 解 (1)方法一:A与B相似,则A E B E,即

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