线性代数历年考研试题之计算题与证明题(17)

方法二:显然B的特征值为 1,2,y;A有特征值 2.A与B相似,则A与B有相同的特征值,故y 2.又

( 1) 2 y ( 2) x 1 x 0

0 0 1 (2)A的对应于特征值 1,2, 2的特征向量分别为p1 2 ,p2 1 ,p3 0 ,令可逆矩阵 1 1 1

P (p1,p2,p3),则P 1AP B.

【注意】

( 1) 2 y ( 2) x 1

(1) 对(1)求解时,若由 ,得x,y有无穷多解,此时这种方法失效.

( 1) 2 y A 2(x 2)

(2) 在(1)的解法中,方法二非常简便,它综合运用了特征值的性质,避免了烦琐的计算.读者不觉得好好玩味一

下吗? 35.(1992—Ⅳ)已知三阶矩阵B O,且B的每一个列向量都是以下方程组的解:

x1 2x2 2x3 0,

2x1 x2 x3 0, 3x x x 0. 123

(1)求 的值; (2)证明B 0.

【考点】线性方程组解的理论的应用.

解 (1)由题意知,齐次线性方程组有非零解,则方程组的系数行列式

1

21

2

A 2 1

3

5( 1) 0 1.

1

(2)由题意,得AB 0.若B 0 A 0,矛盾,所以B 0.

或 由AB 0 R(A) R(B) 3;又A 0 R(A) 1,则R(B) 3 B 0. 【注意】

(1) 若Am sBs n 0,则有下面两个常用的结论:①R(A) R(B) s.②若B O,则齐次线性方程组Am sx 0

有非零解.

(2)An n 0 R(A) n,即非奇异矩阵就是降秩矩阵.

AO

36.(1992—Ⅳ)设A,B分别为m,n阶正定矩阵,试判定分块矩阵C 是否是正定矩阵. OB

【考点】正定矩阵的判别定理.

解 方法一:用定义证明. 0,不妨设x 0,则xTAx 0,yTBy 0,故

x

y

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