线性代数历年考研试题之计算题与证明题(12)

【考点】特征值与特征向量的概念.

证 设A的实特征向量x 0所对应的特征值为 ,则Ax x.又

(Ax)T(Ax) ( x)T( x) xTx 2xTx 1 2 1.(xTx x 0)

【注】注意本题的A是正交矩阵,由此有如下结论:实对称正交矩阵的特征值必为 1. 24.(1991—Ⅰ,Ⅱ)已知

1 (1,0,2,3), 2 (1,1,3,5), 3 (1, 1,a 2,1), 4 (1,2,4,a 8)及 (1,1,b 3,5).

（1）a,b为何值时, 不能表示成 1, 2, 3, 4的线性组合?

（2）a,b为何值时, 有 1, 2, 3, 4的唯一的线性表示式?并写出该表示式. 【考点】含有参数的向量可由向量组线性表示的讨论.

解 可由 1, 2, 3, 4线性表示 线性方程组x1 1 x2 2 x3 3 x4 4 有解.

1 0

TTTTT 1, 2, 3, 4 2

3

1 0r 0 0

1

1

1

1 12 1 3a 24 b 3

51a 8 5

1

1

11

1 1 12 1 . 0a 10 b

00a 1 0

(1)当a 1,b 0时,线性方程组无解, 不能由 1, 2, 3, 4线性表示; (2)当a 1时,线性方程组有惟一解, 可由 1, 2, 3, 4惟一地线性表示.此时

1 r 0TTTTT

1, 2, 3, 4 0 0 2b a 1

a b 1

100

a 1 ,

b

010

a 1

001 0 000

则x1

2ba b 1b

,x2 ,x3 ,x4 0,所以 a 1a 1a 1

2ba b 1b 1 2 3 0 4.

a 1a 1a 1

25.(1991—Ⅰ,Ⅱ)设A是n阶正定矩阵,E是n阶单位矩阵,证明A E的行列式大于1.

【考点】正定矩阵的性质,特征值的性质,实对称矩阵的对角化理论.

证 方法一:A为n阶正定矩阵,则A的特征值 1 0, 2 0, , n 0.而A E的特征值分别为

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