组合数学讲义 3章 递推关系(9)

组合数学讲义

§3.2.1 解的性质

rb rb 也是（3.2.1）之解。其中r1、r2为任意常

11n

22n

1 2

【性质1】 设数列 bn 和 bn 是（3.2.1）的解，则

数。

1 2 （证）bn、bn满足方程（3.2.1），即

1 1 1 1

bn c1bn cb cb 12n 2kn k 0, ① 2 2 2 2 bn c1bn cb cb 12n 2kn k 0, ②

令r1×①＋r2×②得：

1 2 r1 cibn i r2 cibn i cir1bn rb i2n i 0

i 0

i 0

i 0

k

1

k

2

k

（规定c0＝1，下同）。

1

推广：设bn,

b ， b 均为（3.2.1）之解， ，

2

n

sn

s

i 则 bn ribn 也是（3.2.1）的解。其中r1,r2, ,rs为

i 1

任意常数。

【性质2】 设

d 和 d 是（3.2.2）的解，则

1

n

2n

b

n

1 2 dn dn是（3.2.1）的解。

【性质3】 若 bn 是（3.2.1）的解， dn 是（3.2.2）的解，则 dn bn 是（3.2.2）的解。

1 2 s 一般情形：设 dn 是（3.2.2）的解，bn,，bn， ，bn

s

i 是（3.2.2）的解。 分别是（3.2.1）的解，则 dn bn

i 1

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