组合数学讲义 3章 递推关系(11)

组合数学讲义

qk c1qk 1 ck 0 q是方程C(x)＝0

的根，即q是（3.2.1）的特征根。

从而给出了一个实用且比较简单的解此类递推关系的方法。 （三） 通解

【定义3.2.2】 若an，an， ，an是（3.2.1）的不同解，且（3.2.1）的任何解都可以表为

1

2

s

1 2 s r1an r2an rsan an，则称an为（3.2.1）

的通解。其中r1,r2, ,rs为任意常数。

此处所说的不同解是指将每一个解an都视为一个无穷维的解向量，而这些向量之间是线性无关的。

i

通解的特征：

① 通解an首先是解；

② 组成通解的所有解向量线性无关；

③ 任何一个具体的解都被包容在通解an中。

§3.2.3 特征根法

思路：通过解式（3.2.1）的特征方程，求得其特征根，再利用特征根构造（3.2.1）的通解。 （一） 特征根为单根情形

设q1,q2, ,qk是（3.2.1）的互不相同的特征根，则（3.2.1）的通解为

nnn

an A1q1 A2q2 Akqk （3.2.3）

其中A1,A2, ,Ak为任意常数（待定）。

（证）首先由定理3.2.1知qi是方程（3.2.1）的解。且由

n

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