组合数学讲义 3章 递推关系(19)

组合数学讲义

§3.2.4 非齐次方程

（一） 结构 困难性：

可解情形：f(n)的几种特殊情形。

*

【定理3.2.2】 设an是（3.2.2）的一个特解，n是（3.2.1）

的通解，则（3.2.2）的通解为

an＝an＋n (3.2.8)

（证）首先由解的性质知，an是(3.2.2)的解。 其次，证明an是通解。若给定一组初始条件

a0＝d0，a1＝d1， ，ak－1＝dk－1 (3.2.9) 仿照齐次方程通解的证明方法，可证明相应于条件(3.2.9)的解一定可以表示为(3.2.8)的形式。 （二） 待定系数法

关于an的求法已经解决，这里的主要问题是求(3.2.2)的特*解an。遗憾的是寻求特解还没有一般通用的方法。然而当非齐次线性递推关系的自由项f(n)比较简单时，采用下面的待定系数法比较方便。

（一）f(n)＝b（b为常数）

m*

an＝An

*

其中m表示1是（3.3.1）的m重特征根（0≤m≤k）。当然，

*

若1不是特征根（即m＝0），则an＝A。

n

（二）f n b（b为常数）

*an＝Anmbn

其中m表示b是（3.3.1）的m重特征根（0≤m≤k）。同样，

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