组合数学讲义 3章 递推关系(15)

组合数学讲义

特征根 x＝1（三重），x＝2（二重）

通解 an＝(A11＋A12n＋A13n2)1n＋( A21＋A22n)2n

＝(A11＋A12n＋A13n2)＋( A21＋A22n)2n

（三） 复根情形

q e i ，q ei ，设特征方程有一对共轭（单）复根：则通解中含

Aq B＝A nein B ne in

n

n

＝A cos n isin n

n

＋B cos n isin n

n

＝ A B cos n ＋i A B sin n

n

n

＝A1 故通解为

n

cos n ＋A2 nsin n

an＝A1 ncos n A2 nsin n (3.2.7)

优点：避免了复数运算。尤其是当数列{an}是实数时，

Aq Bq的虚部为零。

一般情形，若q是m重复根，且q也是m重复根，从而通解中必含有下面的项

n

n

n A1 A2n Amnm 1 cos n ＋ B1 B2n Bmnm 1 sin n

小结：表3.2.1

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