组合数学讲义 3章 递推关系(12)

组合数学讲义

性质1知an也是（3.2.1）的解。

再证（3.2.1）的所有解都可以表为（3.2.3）的形式。设bn是（3.2.1）的一个解，且满足初始条件bi＝di，i＝0,1,2, ,k－1。令bn 组

000

A1q1 A2q2 Akqk b0

A1q1 A2q2 Akqk b1

Aqk 1 Aqk 1 Aqk 1 b 1122kkk 1

n

Aq ii，代入初始条件，可得关于Ai的线性方程i 1k

（3.2.4）

其系数行列式为著名的范德蒙（Vandermonde）行列式：

1q1

2

D q1

k 1q1

1q2

2q2

1qk

2qk qj qi 0

1 i j k

k 1k 1q2 qk

n

所以式（3.2.4）有唯一解。即b一定可以表示为(3.2.3)的形式。

由于bn的任意性，故知结论成立。

例3.2.1 求递推关系an 4an 1 an 2 6an 3的通解。 （解）特征方程为x3 4x2 x 6 0，解之得特征根

q1＝－1， q2＝2，q3＝3

n

∴ 通解为 an A 1 B2n C3n

其中，A、B、C为任意常数。

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