组合数学讲义 3章 递推关系(14)

组合数学讲义

实质：两个解向量an 2和an 2是线性相关的。

1 2 aa任务：找两个线性无关的解向量n和n。 令an n2，可以验证an是（3.2.1）的解，且与an 2线性无关。

2

n

1

n

2

n

2 1

n

an 4an 1 4an 2＝n2n－4(n－1)2n 1＋4(n－2)2n 2＝0

10＝2 22

仿单根情形，可证明通解为

an A12n A2n2n

一般情况下，设q是（3.2.1）的k重根，则（3.2.1）的通解为

an A1 A2n Aknk 1qn (3.2.5)

更一般的情形，若式（3.2.1）有t个根，其中qi为ki重根

i 1,2, ,t,

t

ki

i 1j 1

ki k ，那么，通解应为 i 1

t

an Aijnj 1qin

n

A11 A12n A1k1nk1 1q1n A21 A22n A2k2nk2 1q2

At1 At2n Atktnkt 1qtn (3.2.6) 例3.2.3 求an 7an 1 19an 2 25an 3 16an 4 4an 5＝0的通解。

（解）特征方程 x5 7x4 19x3 25x2 16x 4＝0

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