机械工程测试技术基础答案(第三版)(6)

给需要的朋友!

x1(t) 1

t

-1

符号函数频谱

b)阶跃函数频谱

x1(t)=e-atsgn(t)符号函数

ì1t>0

u(t)=í

0t<0î

在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。

阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。

解法1：利用符号函数

u(t)=

11

+sgn(t) 22

11æ1ö1é1ùé1ù1

U(f)=F[u(t)]=Fêú+F[sgn(t)]=d(f)+ç-j=(f)-jd÷êú22èpfø2ëpfûë2û2

结果表明，单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预料

之中。同时，由于u(t)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。

|U(f)|

f

单位阶跃信号频谱

解法2：利用冲激函数

(1/2) 0

ì1t>0时

u(t)=òd(t)dt=í

-¥t00时<î

t

根据傅里叶变换的积分特性

t111é1ù

U(f)=Féòd(t)dtù=D(f)+D(0)d(f)=êd(f)-júêúë-¥ûj2pf22ëpfû

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