二阶常系数线性微分方程的解法(6)

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情形2 若 0 , 则特征方程(3)有两个相等的实根 a 1, 2 , 只得到方程(2)的一个特解 y1 e 1 x , 2 需要求另一个特解 y2 ,使 y 2 / y1 常数.设 y2 / y1 u( x ) , 即 y 2 u( x ) e 1 x , 代入方程(2),并约去 e 1 x

,得

2 u (2 1 a )u ( 1 a 1 b)u 0 ,2 因为 1 是方程 a b 0 的二重根,2 故有 1 a 1 b 0 , 2 1 a 0 ,

0 , 取特解 u x , 即得 y 2 x e x , u1

于是(2)的通解为

y (C 1 C 2 x ) e

1 x

.

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