东城区2010-2011学年度高三第一学期期末教学统一检测理科数学(8)

东城区2010-2011学年度高三第一学期期末教学统一检测理科数学

当x (0,)时，f (x) 0,f(x)单调递减；

e

1

当x (, )时，f (x) 0,f(x)单调递增．

e

1

所以函数f(x)在[1,3]上单调递增． 又f(1) ln1 0，

所以函数f(x)在[1,3]上的最小值为0． 6分

（Ⅱ）由题意知，2xlnx x2 ax 3,则a 2lnx x

1e

3x

．

若存在x [,e]使不等式2f(x) x2 ax 3成立，

3x

只需a小于或等于2lnx x

3x

的最大值．

2x

3x

2

设h x 2lnx x

1e

x 0 ，则h x

1

x 3 x 1

x

2

．

当x [,1)时，h x 0,h x 单调递减； 当x (1,e]时，h x 0,h x 单调递增． 由h() 2

e1e1

1e

3e，h(e) 2 e

3e

，h() h(e) 2e

e

12e

4 0，

可得h() h(e)．

1e

1e

1e

所以，当x [,e]时，h(x)的最大值为h() 2

1e

3e．

故a 2

（19）（共13分）

3e． 13分

（Ⅰ）解：由题意：2a 4，所以a 2． 所求椭圆方程为

2

x

2

4

yb

22

1．

又点在椭圆上，可得b 1．

2

所求椭圆方程为

x

2

4

y 1． 4分

2

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：A( 2,0),B(2,0)．

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