2021届新高考二轮数学创新设计专题：考前冲刺一 12类二级结论高(9)

(1)O 为△ABC 的外心?|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A .

(2)O 为△ABC 的重心?OA

→＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心?OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA

→. (4)O 为△ABC 的内心?aOA

→＋bOB →＋cOC →＝0. 【例6】 P 是△ABC 所在平面内一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC

的( )

A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

解析 由P A →·PB →＝PB →·PC →，可得PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA

→＝0，∴PB →⊥CA →，同理可证PC →⊥AB →，P A →⊥BC

→.∴P 是△ABC 的垂心. 答案 D

【训练6】 O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满

足OP →＝OB →＋OC →2

＋λAP →，λ∈R ，则P 点的轨迹一定经过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

解析 设BC 的中点为M ，则OB →＋OC →2

＝OM →， 则有OP

→＝OM →＋λAP →，即MP →＝λAP →. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的重心.

答案 C

结论7 与等差数列相关的结论

已知等差数列{a n }，公差为d ，前n 项和为S n .

(1)若S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项、前2m 项、前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列.

(2)若等差数列{a n }的项数为偶数2m ，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m ＝m (a m ＋a m ＋1)，S 偶－S 奇＝md ，S 偶S 奇＝a m ＋1a m .

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