2021届新高考二轮数学创新设计专题：考前冲刺一 12类二级结论高(4)

又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以f (8)＝f (0)＝0，故f (8)＋f (9)＝1.

答案 D

结论3 函数的对称性

已知函数f (x )是定义在R 上的函数.

(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称，特别地，

若f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.

(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称.

(3)若f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b 恒成立，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称.

【例3】 (1)函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________.

(2)(多选题)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2－f (2－x )，且f (x )是偶函数，下列说法正确的是( )

A.f (x )的图象关于点(1，1)对称

B.f (x )是周期为4的函数

C.若f (x )满足对任意的x ∈[0，1]，都有f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2

<0，则f (x )在[－3，－2]上单调递增

D.若f (x )在[1，2]上的解析式为f (x )＝ln x ＋1，则f (x )在[2，3]上的解析式为f (x )＝1－ln(x －2)

解析 (1)因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，所以f (x )是R 上的奇函数， 又f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4.

所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，

所以f (2 016)＋f (2 018)＝－f (2 014)＋f (2 014＋4)

＝－f (2 014)＋f (2 014)＝0，

所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4.

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