2021届新高考二轮数学创新设计专题：考前冲刺一 12类二级结论高(6)

A 满足.

(2)因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又 f (－x )＝f (x )，

所以f (x )＝f (x ＋4)，则f (－1)＝f (3)＝3.

答案 (1)A (2)3

结论4 两个经典不等式

(1)对数形式：x ≥1＋ln x (x >0)，当且仅当x ＝1时，等号成立.

(2)指数形式：e x ≥x ＋1(x ∈R )，当且仅当x ＝0时，等号成立.

进一步可得到一组不等式链：e x >x ＋1>x >1＋ln x (x >0，且x ≠1).

【例4】 已知函数f (x )＝x －1－a ln x .

(1)若f (x )≥0，求a 的值；

(2)证明：对于任意正整数n ，? ????1＋12? ?

???1＋1

22…? ?

???1＋1

2n <e.

(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，

①若a ≤0，因为f ? ????12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意.

②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x 知，

当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0；

所以f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，

故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点.

因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1.

(2)证明 由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0.

令x ＝1＋12n ，得ln ? ????1＋12n <1

2n .

从而ln ? ????1＋12＋ln ? ????1＋122＋…＋ln ? ????1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－1

2n <1.

故? ????1＋12? ????1＋122…? ?

???

1＋1

2n <e.

【训练4】 (1)已知函数f (x )＝1

ln （x ＋1）－x ，则y ＝f (x )的图象大致为( )

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