2021届新高考二轮数学创新设计专题：考前冲刺一 12类二级结论高(15)

分别是抛物线的切线，即直线l 为切点弦所在的直线.

【例11】 已知抛物线C ：x 2＝4y ，直线l ：x －y －2＝0，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点，当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程.

解 联立方程得???x 2＝4y ，x －y －2＝0，

消去y ，整理得x 2－4x ＋8＝0，Δ＝(－4)2－4×8＝－16<0，故直线l 与抛物线C 相离.

由结论知，P 在抛物线外，故切点弦AB 所在的直线方程为x 0x ＝2(y ＋y 0)，即y ＝12

x 0x －y 0.

【训练11】 (1)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )

A.2x ＋y －3＝0

B.2x －y －3＝0

C.4x －y －3＝0

D.4x ＋y －3＝0

(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1，点P ? ??

??1，32，则椭圆C 在点P 处的切线方程为________________.

解析 (1)如图，圆心坐标为C (1，0)，易知A (1，1).

又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－0

3－1＝12，∴k AB ＝－2.

故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.

(2)由于点P ? ??

??1，32在椭圆x 24＋y 23＝1上， 故切线方程为x 4＋32y 3＝1，即x ＋2y －4＝0.

答案 (1)A (2)x ＋2y －4＝0

结论12 过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦

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