2021届新高考二轮数学创新设计专题：考前冲刺一 12类二级结论高(12)

所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝25×（－1＋23）2

＝275. 【训练8】 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，

则数列??????1a n 的前5项和为( )

A.158或5

B.3116或5

C.3116

D.158 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知S 3≠0.

则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.

所以数列??????1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－? ????1251－12

＝3116. 答案 C

结论9 多面体的外接球和内切球

(1)长方体的体对角线长d 与共点的三条棱长a ，b ，c 之间的关系为d 2＝a 2＋b 2＋c 2；若长方体外接球的半径为R ，则有(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2.

(2)棱长为a 的正四面体内切球半径r ＝612a ，外接球半径R ＝64a .

【例9】 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于

( ) A.7π6 B.4π3 C.2π3 D.π2

解析 当注入水的体积是该三棱锥体积的78时，设水面上方的小三棱锥的棱长为

x (各棱长都相等).

依题意，? ??

??x 43＝18，得x ＝2，易得小三棱锥的高为263. 设小球半径为r ，则13S 底面·263＝4×13S 底面·r (S 底面为小三棱锥的底面积)，得r ＝66.

故小球的表面积S ＝4πr 2＝2π3.

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