2021届新高考二轮数学创新设计专题：考前冲刺一 12类二级结论高(3)

A.f (x )为奇函数

B.f (x )为周期函数

C.f (x ＋3)为奇函数

D.f (x ＋4)为偶函数 解析 (1)因为f ? ??

??x ＋32＝－f (x )， 所以f (x ＋3)＝－f ? ??

??x ＋32＝f (x )，则f (x )的周期T ＝3. 则有f (1)＝f (－2)＝－1，f (2)＝f (－1)＝－1，f (3)＝f (0)＝2，

所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝0，

所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)

＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)

＝673×[f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (2 020)＝0＋f (1)＝－1.

(2)法一 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (－x )＋f (2＋x )＝0，f (－x )＋f (4＋x )＝0，所以f (2＋x )＝f (4＋x )，即f (x )＝f (2＋x )，所以f (x )是以2为周期的周期函数.又f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.

法二 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (x )的周期为2|2－1|＝2，所以f (x )与f (x ＋2)，f (x ＋4)的奇偶性相同，f (x ＋1)与f (x ＋3)的奇偶性相同，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC. 答案 (1)B (2)ABC

【训练2】 奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )

A.－2

B.－1

C.0

D.1

解析 由f (x ＋2)是偶函数可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，

又由f (x )是奇函数得f (－x ＋2)＝－f (x －2)，

所以f (x ＋2)＝－f (x －2)，f (x ＋4)＝－f (x )，f (x ＋8)＝f (x ).

故f (x )是以8为周期的周期函数，所以f (9)＝f (8＋1)＝f (1)＝1.

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