2021届新高考二轮数学创新设计专题：考前冲刺一 12类二级结论高(16)

设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则

(1)x A ·x B ＝p 24.

(2)y A ·y B ＝－p 2.

(3)|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝2p sin 2α(α是直线AB 的倾斜角).

【例12】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( )

A.4

B.92

C.5

D.6

解析 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，

设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，

则|AB |＝3m ，

由抛物线的定义知

|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，

所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，

∴sin 2θ＝89.

又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝

2p sin 2θ＝92

. 答案 B

【训练12】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )

A.334

B.938

C.6332

D.94 解析 法一 由已知得焦点坐标为F ? ????34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33? ????x －34，

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