高等数学习题(2)

第一章 函数, 极限与连续

内容提要

1. 函数

(1) 函数的概念，复合函数, 隐函数, 反函数, 分段函数

(2) 初等函数, 六种基本初等函数：f(x) C,a,lnx,x,sinx ,arcsinx (3) 函数的特性: 单调性, 有界性, 奇偶性和周期性. 2.极限

(1) 数列的极限， 常用的已知极限

:

x

anlim 0(a 1(a 1,liman 0(|a| 1) n nnn

(1) 函数极限（共24种）：x x0,x0,x0, , , 六种，f(x) A, , , 四种 （2）极限存在的充要条件: limf(x) A limf(x) limf(x) A

x x0

x x0

x x0

(3) 极限存在的准则: i) 夹逼定理, ii) 单调有界数列必有极限

sinx 1 (4) 两类重要极限: lim 1,lim 1 e

x 0x sinx 1

注意：lim 0,lim 1 1，并有多种变化形式

x x 0

(5) 极限的基本性质: 唯一性, 保号性, 四则运算

3．关于无穷小量

(1) 无穷小量与无穷大量的¡倒数¡关系 (2) 无穷小量与有界变量的积为无穷小量 (3) 无穷小量的阶的比较（也可能不可比较）

(4) 无穷小量的等价代换原理，常用的无穷等价无穷小（x 0时）：

x

x

sinx x,1 cosx

12

x,ln(1 x) x,ex 1 x,(1 x) 1 x，

2

x

由此推出tanx x,arcsinx x,arctanx x,a 1 xlna 1 4. 连续

(1) 连续的定义和特征: limf(x) f(x0)，或lim

x x0

1

x等等 2

x 0

y 0

(2) 区间上的连续函数。任何初等函数在它的定义域上连续。 (3) 间断点及其分类（两类：limf(x),limf(x)均存在的x0为第一类，否则为第二类）

x x0

x x0

（4） 闭区间上连续函数的性质:有界性定理, 最大最小值定理, 介值定理, 根的存在定理. 注意：无最大值未必有界，如f(x) x,x (0,1)，无界未必无穷大，如f(x) x1

。 x

习 题

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