高等数学习题(18)

第三章 中值定理和导数的应用

内容提要

1. 导数的应用

1)证明函数恒等式：若f (x) 0，则f(x) C

2)判别函数的单调性：f (x) 0 f(x)单调递增（注：f(x)严格递增f (x) 0）

f (x) 0或不存在的点,最值点还可能

出现在区间的端点处。注意：一般地，x0是f(x)的极值点f (x0) 0，反例：

3)研究函数的极值和最值：可能的极值点是使

f1(x) |x|,f2(x) x3。

4)研究函数的凹凸性与拐点(主要考察二阶导数f (x))。注意：一般地，x0是f(x)的拐点

f (x0) 0，反例：f1(x) x,f2(x) x4。

5) 函数作图（其中渐近线的探求不属导数的应用）。函数图象的渐近线：

I）若limf(x) ，则有竖直线x a；II）若limf(x) a，则有水平线y a；

x a

x

53

III）若lim

x

f(x)

k，lim[f(x) kx] b，则有斜渐近线y kx b。

x x

2. 微分中值定理的证明

1)罗尔中值定理f(a) f(b) :f ( ) 0，常用来证明f (x)的根的存在性。 2)拉格朗日中值定理 :f(b) f(a) f ( )(b a)，这是中值定理的核心，常用来表达

f(x)或估计不等式等。

f ( )f(b) f(a)

3)柯西中值定理 : ，罗必塔法则和泰勒中值定理由此推得。

4）泰勒中值定理

f (x0)f (x0)f(n)(x0)f(n 1)( )2n

:f(x) f(x0) (x x0) (x x0) (x x0)(x x0)n 1

常用于涉及高阶导数的f(x)精确表达。

注：介值定理(根的存在性定理，f(x)只需连续，不需可导)和积分中值定理经常与微分中值定

理综合应用。 1．

罗必塔法则：若f(x) 0,g(x) 0或f(x) ,g(x) 且f (x)

A（常数g(x)

或 ），则lim

f(x)f (x)

A，这里极限为有限或无穷大）。注意：当lim 且不

g(x)g(x)

x2xf(x)

存在时，罗必塔法则失效，即不能断定lim不存在，如。

x 0xg(x)

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库高等数学习题(18)在线全文阅读。