数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)(19)

数值分析第五版答案(李庆扬)

第三章 函数逼近与计算（80-82）

1、（a）利用区间变换推出区间为 a,b 的伯恩斯坦多项式；

（b）对f(x) sinx在 0, 上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与

2

相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。

[解]（a）令x a (b a)t，则t 0,1 ，从而伯恩斯坦多项式为

Bn(f,x) f(

k 0n

n k(b a)kn k

。 )Pk(x)，其中Pk(x) x(b a x) k n

（b）令x

t，则t 0,1 ，从而伯恩斯坦多项式为 2

n

Bn(f,x) f(

k 01

k

n k n k

。 )Pk(x)，其中Pk(x) x( x) 2n2 k

1 0 1 1

B1(f,x) f()Pk(x) f(0) x x f()x x 22 1 2 k 0 0 2；

sin0 x sin x 0 x x x

2 2 2

k

B3(f,x) f(

k 0

3

k

6

)Pk(x)

3 0 3 1 32

f(0) 0 x(2 x) f(6) 1 x(2 x)

3 2 3 3 10

f() x( x) f()x( x) 3 22 2 2 3

。

sin0 x sin 3x( x)2 sin 3x2( x) sin x3

62322 2

3 32 3 23 223

x( x) x( x) x (x x2 x3) (x x3) x3

222224223 231 x (2 3)x2 (33 5)x3

8422、求证：（a）当m f(x) M时，m Bn(f,x) M； （b）当f(x) x时，Bn(f,x) x。

k

[证明]（a）由Bn(f,x) f()Pk(x)及m f(x) M可知，

nk 0

n

3

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