【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第11节 导(17)

【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第11节 导数的简单应用]

6.(2013年高考福建卷)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).

(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值; (2)求函数f(x)的极值;

(3)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.

解:(1)由

f(x)=x-1+, 得f'(x)=1-.

又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴, 得f'(1)=0,即1-=0, 解得a=e. (2)f'(x)=1-,

①当a≤0时,f'(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数, 所以函数f(x)无极值.

②当a>0时,令f'(x)=0,得ex=a,x=ln a. x∈(-∞,ln a),f'(x)<0; x∈(ln a,+∞),f'(x)>0,

所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减, 在(ln a,+∞)上单调递增, 故f(x)在x=ln a处取得极小值,

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