【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第11节 导(13)

【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第11节 导数的简单应用]

解得

(2)证明:因为f(x)的定义域为(0,+∞), 由(1)知f(x)=x-x2+3ln x.

设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3ln x, 则g'(x)=-1-2x+

=-.

当0<x<1时,g'(x)>0,当x>1时,g'(x)<0.

所以g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减. 而g(1)=0,故当x>0时,g(x)≤0,即f(x)≤2x-2. 3.(2013贵阳二模)已知函数f(x)=x2+aln x.

(1)若a=-1,求函数f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值; (2)若a=1,求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;

(3)若a=1,求证:在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.

解:(1)由于函数f(x)的定义域为(0,+∞), 当a=-1时

,f'(x)=x-

=

,

令f'(x)=0得x=1或x=-1(舍去), 当x∈(0,1)时,函数f(x)单调递减, 当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递增, 所以f(x)在x=1处取得极小值为.

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