【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第11节 导(16)

【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第11节 导数的简单应用]

g(x)<g(1)=-1,

∴当a≥-1时,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立. 5.(2012年高考安徽卷)设函数f(x)=aex++b(a>0). (1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;

(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值. 解:(1)f'(x)=aex-, 当f'(x)>0,即x>-ln a时, f(x)在(-ln a,+∞)上递增; 当f'(x)<0,即x<-ln a时, f(x)在(-∞,-ln a)上递减. ①当0<a<1时,-ln a>0, f(x)在(0,-ln a)上递减,

在(-ln a,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(-ln a)=2+b;

②当a≥1时,-ln a≤0,f(x)在[0,+∞)上递增, 从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=a++b. (2)依题意f'(2)=ae2-

=, 解得ae2=2或ae2=-(舍去),

所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=,故a=,b=.

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