全国大学生数学竞赛大纲(9)

全国大学生数学竞赛大纲

xn

y e(C )

n

x

因此

xn

un(x) e(C )

n

e1

由 un(1) e(C )知，C 0， nn

x

于是

xnexun(x)

n

下面求级数的和：

令

xnex

S(x) un(x) nn 1n 1

则

xnexexn 1x

S (x) (xe ) S(x) xe S(x)

n1 xn 1n 1

n 1x

即

ex

S (x) S(x)

1 x

由一阶线性非齐次微分方程公式知

S(x) ex(C

1

x) 1 x

令x 0，得0 S(0) C，因此级数

u

n 1

2

n

(x)的和

S(x) exln(1 x)

八、（10分）求x 1时, 与

2

xn等价的无穷大量.

n 0

2

解 令f(t) xt，则因当0 x 1，t (1, )时，f (t) 2txtlnx 0，故

f(t) x e

0

t2

t2ln

1

x

在(0, )上严格单调减。因此

f(t)dt

n 0

n 1

n

f(t)dt f(n) f(0)

n 0

n 1

n

n 1

f(t)dt 1

f(t)dt

即

又

0

f(t)dt 1 f(n) 1

n 1

0

f(t)dt

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