全国大学生数学竞赛大纲(18)

全国大学生数学竞赛大纲

k1 k2 k3 1

由①②③得k1,k2,k3是齐次线性方程组 k1 2k2 3k3 0的解

k 4k 9k 0

23 1

111 k1 1

设A 123,x k2,b 0，则Ax b， 149 k 0 3

增

广

矩

阵

1111

A* 1230

1490 1003

010 3 0011

，则

R A,b R A 3

所以，方程Ax且k1

b有唯一解，即存在唯一一组实数k1,k2,k3满足题意，

3,k2 3,k3 1。

四．（本题17

x2y2z2

分）设 1:2 2 2 1，其中a b c 0，

abc

2:z2 x2 y2， 为 1与 2的交线，求椭球面 1在 上各点的切平面

到原点距离的最大值和最小值。

x2y2z2

解：设 上任一点M x,y,z ，令F x,y,z 2 2 2 1，

abc

2x'2y'2z'

则Fx 2,Fy 2,Fz 2, 椭球面 1在 上点M处的法向量为：

abc xyz

t 2,2,2 , 1在点M处的切平面为 ：

abc xyz

X x 2 Y y 2 Z z 0 2 abc

原点到平面

的距离

为

d

zc4

2

，令

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