全国大学生数学竞赛大纲(13)

全国大学生数学竞赛大纲

所以

an1

N

21sn

an

发散 sn 1n

kN

当n 时，N 所以

五、（15分）设l是过原点、方向为( , , )，（其中 2 2 2 1)的直线，均匀椭球

x2y2z2

1，其中（0 c b a,密度为1）绕l旋转。 a2b2c2

（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向( , , )的最大值和最小值。 解：

（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离

d2 (1 2)x2 (1 2)y2 (1 2)z2 2 xy 2 yz 2 zx

xydV yzdV zxdV 0

zdV

2

c

c

zdz

xa

2

2

y2b

1

z224

dxdy ab(1 2)zdz abc3

cc15z2

c

c由轮换对称性，

2

x dV

44

a3bc, y2dV ab3c 1515

444

a3bc (1 2) ab3c (1 2) abc3 151515

I d2dV (1 2)

4

abc[(1 2)a2 (1 2)b2 (1 2)c2] 15

（2）a b c

4

当 1时，Imax abc(a2 b2)

154

abc(b2 c2) 当 1时，Imin 15

六、(15分)设函数 (x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线

积分

c

2xydx (x)dy

的值为常数。

x4 y2

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